નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}} d x$ નું મૂલ્ય શોધો.

(D) ધારો કે $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}} d x$ .... $(1)$
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\sin(\frac{\pi}{2}-x)}}{\sqrt{\sin(\frac{\pi}{2}-x)}+\sqrt{\cos(\frac{\pi}{2}-x)}} d x$
કારણ કે $\sin(\frac{\pi}{2}-x) = \cos x$ અને $\cos(\frac{\pi}{2}-x) = \sin x$ હોવાથી:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\cos x}+\sqrt{\sin x}} d x$ .... $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} d x$
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 d x$
$2I = [x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$
$2I = \frac{\pi}{2} - 0$
$2I = \frac{\pi}{2}$
$I = \frac{\pi}{4}$